在上一篇文章里，我们介绍了SGD这个最朴素的梯度下降方法，以及其Momentum和NAG的优化改进方法。我们现在又回过头来看这个没加Momentum的图，可以看到在垂直方向上的梯度较大，走得很快，而水平方向上的位移较小，走的很慢，看着就很急！但你先别急，那么能不能不使用Momentum就让水平方向上的位移大一点，垂直方向上的位移小一点呢？

我们想要迄今为止梯度大的参数（即垂直方向）更新得慢一点，梯度小的参数（即水平方向）更新得快一点，这个就是二阶动量的定义：

其中，为当前时刻的二阶动量，是某一时刻的梯度，表示迄今所有梯度的平方和。AdaGrad就是在SGD的基础上，把二阶动量加入到参数更新的过程中：

其中，为模型参数，为学习率，这时学习速率就会根据二阶动量来自适应进行调整。

我们现在再从上述的二维图扩展到整个深度学习模型中，并不是所有模型参数都会被频繁更新。对于频繁更新的参数，由于我们已经积累了大量的先验信息，所以不希望被单个样本影响的太大，所以希望学习速率慢一点；对于偶尔更新的参数，我们想要它从偶尔出现的样本上尽可能获取更多得信息，所以希望学习速率快一点。

因此二阶动量可以在数据稀疏的情况下表现很好，因为稀疏数据中0占大多数，此时二阶动量累积梯度和较大，可以有效降低重复数据的学习速度。但是由于会随着训练过程不断增大，所以学习率最终会逼近于0，可能会造成训练的提前终止。

AdaGrad的伪代码流程如下，重点在最后两行，不考虑weight_decay的情况下，把梯度的平方累加到state_sum中，再用当前梯度除以state_sum乘以学习率来更新参数：

以下代码为pytorch官方AdaGrad代码。

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