• 有哪些研究实例？

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写一个比较粗略的回答吧。

拓扑学是研究一个图形在经过剧烈形变（例如拉扯，扭曲等等）之后仍然保持不变的一些性质的几何学，但是它的意义不仅限于此，对拓扑的研究能让我们对空间等几何概念有更为本质的理解。

我接触拓扑不久，也只能略道一二我个人的见解，必然有许多漏洞和缺陷。也许我的回答连抛砖都算不上，期待各位大佬的宝玉吧。

这个问题已经超出知乎承载的范围了，我觉得写出来就可以至少可以评国自然二等奖了，5年时间+5位专家不一定能搞定。

古老的不谈，最前沿的不论，就写整个20世纪。同伦同调已经被写了，Jean Dieudonne: A History of Algebraic and Differential Topology: 1900 --- 1960。

60和70年代：高维庞加莱猜想，Atiyah-Singer指标理论，Surgery 理论，Handle 理论，PL v.s. Smooth v.s. Topological，纽结理论。

80和90年代：Thurston 的 Foliation, Freedman的对四维流形的拓扑分类，由Taubes, Donaldson, Uhlenbeck, Witten，Floer等发展的TQFT, 由Eliashberg, Gromov, McDuff 等做的 Symplectic 和 Contact structure。

最后大家最喜欢的科普：Perelman证的3维庞加莱猜想，但其故事和拓扑关系不大。

此外还有一些我遗漏的，完全不了解的重要理论。

我想仅仅作为后来人把主要结果整理出来，理清之间的关联，两三百页的书就有了。如果还要写历史，试图还原当时有哪些主要人物交流，发表的文章脉络，以及想法的产生与转变，我觉得两千页也打不住。

至于给其他学科带来的影响，这就远超我所能理解了。

百科全书的时代已经过去了。

想了解个大概，Wiki已经写得很好了，直接翻译过来就能用。

拓扑学(topology)，简单的说是研究几何形变中的不变。这种不变又称之为拓扑不变性，拓扑不动点。拓扑不动点，拓扑不变性也是博弈论的基石^[1][2]

在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性^[3]与紧致性^[4]。

以紧致性来说就出现了许多很好玩的事。比如密堆积。比如五边形的密铺^[5][6]

Topology起源于希腊语Τοπολογ。形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说，研究连续性和连通性是拓扑学的最重要的内容。

拓扑学最开始叫形势分析学，是德国最有名的数学家兼哲学家跟牛顿搞得死去活来的莱布尼茨在1679年提出的名词。

到了十九世纪中期，德国大名鼎鼎的数学家黎曼提出了他的名言：“在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学”。从此开始了现代拓扑学的系统研究。（知乎小管家说这样写就不怕知乎脑残的查重软件查重了，它说我抄别人的：囧）

在纯数学上，拓扑也很有逼格。目前主要有如下几个方面。具体内容就不往里面填了。

点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

目前很多讲的也就是这部分的内容。这部分的内容延伸到其它学科也最多，后面专门讲几个这个例子。^[8]

代数拓扑(Algebraic topology)就是用代数的方式来研究拓扑的问题。

这里的抽象主要是用到了集合的概念，把图（空间）跟代数中的集合对应起来。用代数的形式来解释计算拓扑图的问题。

如上面一个问题，就是把概念映射到集合的概念，集合与图同构。最终求出哈斯图。

赋以拓扑的集合叫拓扑空间。拓扑基[topologique (base)]设E为拓扑向量空间，则E的任一拓扑自由与拓扑生成的向量族皆称为拓扑基^[10]。

上面的集合表达，就是一个拓扑基。其衍生的都集合，如可达矩阵等的拓扑基，就是这个骨架矩阵。

分离的准希尔伯特向量空间的希尔伯特基是拓扑基。

如果E是无限维的可分巴拿赫空间，则任何基皆非拓扑基，而任何拓扑基亦非基。

微分拓扑（Differential Topology）是一个处理在微分流形上的可微函数(Differential fuction)的数学领域，是研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。

微分，存在着连续与非连续之分。在离散的区间内，离散段易存在连续片段。

微分拓扑有一部电影，也有大量的叫微分拓扑的基本书籍。数学系里微分拓扑属于基本的课程。

同伦论是拓扑学的重要概念。映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合上的一个 等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。^[13]

最早的拓扑学还是古希腊时候。

即图论的起源。图论一定形式上就是拓扑学。

莫比乌斯环^[14]是非常有名的跟拓扑学有关的一个情况。

拓扑学运用非常广，渗透到各个学科，毕竟数学是一门横断学科，跟各个学科都有交集。拓扑学深入到生活的各个方面，大家自觉不自觉的运用到它，只不过没有意识到而已。^[15]

这里举一个简单的综合评价问题。

其实就是把分析的对象通过各种梳理转化成要素，以及要素与要素之间的关系，通过适当的拓扑运算，最终给出结果分析。

上面是一个简单的例子^[16]。是比较4个皇帝的好坏。类似的例子有比较学生的好坏，学习的好坏，经济发展的还坏，某某服务的还坏，某某对抗疫情的好坏……

上面四个皇帝的初始数据，分成四个维度简单的打分情况。

上面是经过一系列的变化。主要是几何空间，然后进行几何变化。以普通排序的情况来指示。

上面就是一个一组对抗拓扑序。越上面表示越好越牛逼。

很显然是李世民最牛逼的。

首先，我自己只学过的基本的点集拓扑，并出于兴趣翻过一点点代数拓扑，对于太前沿的进展不懂，对很多已有的成熟的结果也是处于名词党的阶段，不过比较喜欢看“故事”，所以对相关历史有所了解，瞎写一点。

说到拓扑学就不得不提法国数学家Jules Henri Poincaré(1854-4,29—1912-7,17)^[1]，了解过拓扑的人可能都知道Poincaré猜想，而1895年Poincaré的著作Analysis Situs(可以翻译为相位分析？)更是被认为代数拓扑真正的开端，可以参考John Stillwell的英文翻译^[2]。(应该Leibniz^[3]最先使用geometria situs和analysis situs来描述对空间维度的研究^[4]，也可参考Vincenzo De Risi关于Leibniz的著作^[5])。接下来写一点我所了解到的拓扑学的发展历程中的一些重要节点，以下内容均来源于文中所提及的相关著作和我自己曾经在拓扑学课程和数学史课程中的零散记忆（并不完整，且请以给出的参考文献为准）。

对拓扑学发展历史的一个简短描述可以参考

更为详尽的可以参考I. M. James编辑的巨著

以及

1.拓扑学史上第一个重要的人物--Leonhard Euler(1707,4,15-1783,9,18)^[6]。在中学的时候我们就学过著名的K?nigsberg七桥问题和多面体的Euler定理。关于七桥问题的解答出现在Euler1736年的文章Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis(The solution of a problem relating to the geometry of position).从这篇文章的题目就可以看出，Euler所研究的是一种新的几何学--"位置的几何学"。1750年在给Goldbach^[7]的信中，Euler提出了著名的 。Armstrong的Basic Topology^[8]的第一节就是Euler定理的证明，感兴趣的可以去读读。很巧合的一点是一位1750年出生的数学家 Lhuilier^[9]延续了Euler的工作证明了 。

2. Johann Benedict Listing(1802,7,25-1882,12,24)^[10] 1847年在G?ttinger Studien中的的文章 Vorstudien zur Topologie(Preliminary studies on topology)被认为是第一篇使用拓扑这个词的文章(topology这个词最早应该出现在Lefschetz1930年的著作^[11])，实际上在此文章之前Listing于1836年的信件中就在使用这个概念了，可以参考James的文章Reflections On The History Of Topology^[4]以及History of topology中关于E. Breitenberger关于Listing的文章（p909）^[12]。Listing是Gauss的学生，兴趣广泛是Gauss建议他研究拓扑相关的数学的，值得注意的是Gauss并没有发表过关于拓扑学的相关著作。现在大家都知道August Ferdinand M?bius(1790,11,17-1868,9,26)关于定向的研究，以及著名的M?bius带。但实际上Listing在更早的时候也描述了同样的概念（两者的工作是独立的）。M?bius意识到所谓的拓扑应该是研究我们现在称之为同胚不变的性质。不过无论是Listing还是M?bius拓扑学并不是他们的主要兴趣所在(Listing更关心物理)。

3. Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826,9,17-1866,7,20)关于Riemann surfaces的研究一定程度上受到了Listing对拓扑学研究的影响。接下来所提到的Riemann的工作都可以在中译本的黎曼全集中找到^[13]。Riemann在其著名的über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen(On the hypotheses at the foundations of geometry)^[14]中描述了现在我们称为流形的概念。还有一个很关键的是Riemann将拓扑的方法带入了对复变函数的研究！在其著名的Theorie der Abel'schen Functionen(The Theory of Abelian Functions)中(1857)的第二节Lehrs?tze aus der Analysis situs für die Theorie der Integrale con zweigliedrigen vollst?ndigen Differentialien(Theorems of analysis situs for the theory of the integral of a complete differential with two terms)Riemann中引入了connectivity number的概念^[15]。1858年三位意大利数学家Betti, Casorati 和 Brioschi访问G?ttingen时，Riemann跟他们讨论过自己关于拓扑学的一些观点，可参考Detlef Laugwitz的著作^[16]。Betti关于拓扑最重要的工作应该是其1871的论文Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni(On spaces of any number of dimensions)其中引入了被Poincaré称为Betti numbers的概念，或许这可以看做是代数拓扑的雏形？从Betti与Riemann的通信也可以看出其工作在很大程度上受到了Riemann的影响^[17]。

4. Marie Ennemond Camille Jordan(1838,1,5-1922,1,22)^[18]和Giuseppe Peano(1858,8,27-1932,4,20)^[19] Jordan和Peano关于拓扑的工作很大程度上受到了Cantor^[20]关于点集的工作的影响（开集的概念可能也是由Cantor引入的）。他们最著名的工作应该是Jordan curve theorem和Peano's 'space-filling' curves。

5. 从分析的角度来看拓扑，数学分析中的基本定理Bolzano^[21]-Weierstrass^[22] 。

6.Poincaré的analysis situs以及五篇补充，Jean Dieudonné关于近代拓扑学发展史的著作^[23]的第一个主题就是Poincaré的这些工作。Poincaré有一句广为流传的话“Later generations will regard Mengenlehre (set theory) as a disease from which one has recovered.”在网络上还可以看到把Mengenlehre改成point set topology的说法，关于这句引语可以参考J. Gray的文章^[24]。

7.Felix Hausdorff(1868,11,8-1942,1,26)^[25] 1914的名著Grundzüge der Mengenlehre(General set theory)可以看做是现代点集拓扑的开端，里面出现了度量空间、Hausdorff分离性等我们熟知的概念。现在关于拓扑空间的定义可能最早出现在Alexandroff^[26]的工作中？也可能是Bourbaki^[27]的数学原理。

8.对于20世纪前半代数拓扑和微分拓扑的发展请参见Jean Dieudonné^[28] 的著作- A history of algebraic and differential topology, 1900 - 1960.可以看看Saunders Mac Lane为本书写的review.

五一放假摸摸鱼，以后有空了再填。

简史：

笛卡尔多面体-欧拉定理-莱布尼茨位置分析学-欧拉七桥问题-高斯位置几何-Listing与莫比乌斯曲面-黎曼亏格-Betti推广-Francis Guthrie提出四色问题-约当曲线定理-庞加莱时期的成果-布劳威尔不动点定理与组合拓扑学-布劳威尔同调不变性与对偶定理-组合同调的发展-同调代数诞生-范畴论-同调公理化-商空间和CW复形-同伦群与同伦论-微分拓扑诞生-纤维丛理论-示性类理论-束论-谱序列-上同调运算-协边理论-号差定理-怪球面-Morse理论-K理论-换球术-拓扑流形问题-纽结理论-三维流形-四维流形.......

然后附一张《点集拓扑讲义》熊金城的大概内容：

代数拓扑的研究内容大概如下：

基本群、同伦、单纯同调群、单形、复形、奇异同调论等。