柯西，积分第一，积分第二中值定理的物理或几何意义

这里不作任何铺垫，默认你有微积分基础

柯西中值定理：设函数 $f,g$ 在 $[\\alpha,\\beta]$ 上连续且在 $(\\alpha,\\beta)$ 上可微，则存在一个点 $\ au\\in(\\alpha,\\beta)$ 使得 $f'(\ au)(g(\\beta)-g(\\alpha))=g'(\ au)(f(\\beta)-f(\\alpha))$

若 $\\forall t\\in (\\alpha,\\beta),f'(t)\ eq0,f(\\alpha)\ eq f(\\beta)$ ，则还可以变形为 $\\frac{g(\\beta)-g(\\alpha)}{f(\\beta)-f(\\alpha)}=\\frac{g'(\ au)}{f'(\ au)}$

我们记，在 $R^2$ 平面内沿一光滑曲线运动的点 $P$ 在 $t$ 时的坐标为 $(x,y)$ ，其中 $x=f(t),y=g(t),t\\in[\\alpha,\\beta]$ ，曲线的起点和终点分别是 $A(f(\\alpha),g(\\alpha)),B(f(\\beta),g(\\beta))$

则 $P$ 在 $t$ 时的速度向量 $V_P$ 为 $(f'(t),g'(t))$ ，起点到终点的位移向量 $\\overrightarrow{AB}$ 为 $(f(\\beta)-f(\\alpha),g(\\beta)-g(\\alpha))$

可以找到曲线上的一点 $(f(\ au),g(\ au))$ ，使得 $P$ 在该点的速度向量 $V_P$ 的方向与位移向量 $\\overrightarrow{AB}$ 的方向一致

如图1

本应该是 $[\\alpha,\\beta]\ imes R^2$ 的三维图，但画起来好复杂，简化了一下，下方的 $\\alpha\\beta$ 线段是 $A$ 到 $B$ 的时间间隔

积分第一中值定理：令 $f,g\\in R[a,b]$ ，且 $m=\\inf_{x\\in[a,b]}f(x),M=\\sup_{x\\in[a,b]}f(x)$ ，若 $g$ 在 $[a,b]$ 上非负（非正同理），则 $\\exist \\mu \\in[m,M],\\int_a^b(f·g)(x)dx=\\mu\\int_a^bg(x)dx=\\int_a^b\\mu g(x)dx$

为了解释上面定理的几何意义，我们先讨论一个简单的情形，令 $f,g\\in C[a,b],g(x)\\equiv1$

有朋友应该已经想到了如图2的几何意义

思路是对的，但并不利于解释完整的定理

我们把平面直角坐标系换成空间直角坐标系， $f(x),g(x)$ 的图像分别在 $xOz,xOy$ 平面上，于是根据我们之前所假设的情形，有图3

最简单情况下，积分第一中值定理的几何意义已经凸显了，接下来弱化限制，令 $f,g\\in C[a,b],g(x)\\geq0$ ，于是有图4， $g(x)\\leq0$ 同理

但定理仅要求 $f,g\\in R[a,b]$ ，因此函数 $f,g$ 在 $[a,b]$ 有界且可能存在有限个间断点

为了处理这种情况，给出以下定义、命题与引理，命题与引理不作证明

$定义_1:$ $f(x),x\\in X$ 是给定的函数，若 $A\\subset X$ ，则记 $f|_A(x){:=}f(x),x\\in A$

$命题_1:$ 若 $[b,c]\\subset[a,d],f\\in R[a,d]$ ，则 $f|_{[b,c]}\\in R[b,c]$

$引理:$ 若 $a<b<c,f\\in R[a,c]$ ，则 $f|_{[a,b]}\\in R[a,b],f|_{[b,c]}\\in R[b,c]$ ，且有 $\\int_a^cf(x)dx=\\int_a^bf(x)dx+\\int_b^cf(x)dx$

$定义_2:$ 设 $[a,\\omega)$ 是有限或无限区间， $f$ 是定义在该区间上的函数，且 $\\forall[a,b]\\in[a,\\omega),f\\in R[a,b]$ ，若 $(b\\rightarrow \\omega)\\wedge(b\\in[a,\\omega))$ 时， $\\lim_{b\\rightarrow\\omega}\\int_a^bf(x)dx$ 存在，则定义 $\\int_a^{\\omega}f(x)dx:=\\lim_{b\\rightarrow\\omega}\\int_a^bf(x)dx$

$命题_2:$ 若 $\\omega\\in \\mathbb{R},f\\in R[a,\\omega]$ ，则常义积分 $\\int_a^{\\omega}f(x)dx$ 与反常积分 $\\lim_{b\\rightarrow\\omega}\\int_a^bf(x)dx$ 的值是一样的

有了上述结论，对 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上各自的间断点集取并，得到有限可数集 $X=\\{x|a\\leq x_1<...<x_k\\leq b\\}$ ， $\\forall x\\in X,(x是f的间断点)\\vee(x是g的间断点)$

进而根据 $命题_1与引理$ ， $f·g$ 在 $[a,x_1],[x_k,b]$ 和每个形如 $[x_n,x_{n+1}]$ 的小闭区间上都是可积的，且在对应的小开区间上都是连续的，有 $\\int_a^b(f·g)(x)dx=\\int_a^{x_1}(f·g)(x)dx+...+\\int_{x_k}^b(f·g)(x)dx$

最后再根据 $命题_2$ ，原积分的值 $\\int_a^b(f·g)(x)dx$ 就会等于每个小开区间上有界连续函数 $f·g$ 的反常积分的值的总和

于是，对于 $f,g$ 出现间断点的情况，可以把 $[a,b]$ 划分为 $[a,x_1),(x_k,b]$ 和所有形如 $(x_n,x_{n+1})$ 的开区间， $f·g$ 在每个小开区间上都是连续且有界的，进而在每个小开区间上可以继续用图4所示的几何意义来解释， $(a=x_1)\\vee(b=x_k)$ 时同理